Натуральное число e. Функция: область определения и область значений функций

вероятность (probability) - число от 0 до 1, которое отражает шансы того, что случайное событие произойдет, где 0 - это полное отсутствие вероятности происхождения события, а 1 означает, что рассматриваемое событие определенно произойдет.

Вероятность события E является числом от до 1.
Сумма вероятностей взаимоисключающих событий равна 1.

эмпирическая вероятность - вероятность, которая посчитана как относительная частота события в прошлом, извлеченная из анализа исторических данных.

Вероятность очень редких событий нельзя посчитать эмпирически.

субъективная вероятность - вероятность, основанная на личной субъективной оценке события безотносительно исторических данных. Инвесторы, которые принимают решения о покупке и продаже акций зачастую действуют именно исходя из соображений субъективной вероятности.

априорная вероятность -

Шанс 1 из… (odds) того что событие произойдет через понятие вероятности. Шанс появления события выражается через вероятность так: P/(1-P).

Например, если вероятность события 0,5, то шанс события 1 из 2 т.к. 0,5/(1-0,5).

Шанс того, что событие не произойдет вычисляется по формуле (1-P)/P

Несогласованная вероятноть - например в цене акций компании А на 85% учтено возможное событие E, а в цене акций компании Б всего на 50%. Это называется несогласованная вероятность. Согласно теореме голландских ставок, несогласованная вероятность создает возможности для извлечения прибыли.

Безусловная вероятность - это ответ на вопрос «Какова вероятность того, что событие произойдет?»

Условная вероятность - это ответ на вопрос: «Какова вероятность события A если событие Б произошло». Условная вероятность обозначается как P(A|B).

Совместная вероятность - вероятность того, что события А и Б произойдут одновременно. Обозначается как P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Правило суммирования вероятностей:

Вероятность того, что случится либо событие A либо событие B -

P (A or B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Если события A и B взаимоисключающие, то

P (A or B) = P(A) + P(B)

Независимые события - события A и B независимы если

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

То есть это последовательность результатов, где значение вероятности постоянно от одного собятия к другому.
Бросок монеты - пример такого события, - результат каждого следующего броска не зависит от результата предыдущего.

Зависимые события - это такие события, когда вероятность появления одного зависит от вероятности появления другого.

Правило умножения вероятностей независимых событий:
Если события A и B независимы, то

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Правило полной вероятности:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S и S" - взаимоисключающие события

математическое ожидание (expected value) случайной переменной есть среднее возможных исходов случайной величины. Для события X матожидание обоначается как E(X).

Допустим у нас есть 5 значений взаимоисключающих событий c определенной вероятностью (например доход компании составил такую-то сумму с такой вероятностью). Матожиданием будет сумма всех исходов помноженных на их вероятность:

Дисперсия случайной величины - матожидание квадратных отклонений случайной величины от ее матожидания:

s 2 = E{ 2 } (6)

Условное матожидание (conditional expected value) - матожидание случайной величины X при условии того, что событие S уже произошло.

Каждая из функций Е проверяет указанное значение и возвращает в зависимости от результата значение ИСТИНА или ЛОЖЬ. Например, функция ЕПУСТО возвращает логическое значение ИСТИНА, если проверяемое значение является ссылкой на пустую ячейку; в противном случае возвращается логическое значение ЛОЖЬ.

Функции Е используются для получения сведений о значении перед выполнением с ним вычисления или другого действия. Например, для выполнения другого действия при возникновении ошибки можно использовать функцию ЕОШИБКА в сочетании с функцией ЕСЛИ :

= ЕСЛИ( ЕОШИБКА(A1); "Произошла ошибка."; A1 * 2)

Эта формула проверяет наличие ошибки в ячейке A1. При возникновении ошибки функция ЕСЛИ возвращает сообщение "Произошла ошибка." Если ошибки отсутствуют, функция ЕСЛИ вычисляет произведение A1*2.

Синтаксис

ЕПУСТО(значение)

ЕОШ(значение)

ЕОШИБКА(значение)

ЕЛОГИЧ(значение)

ЕНД(значение)

ЕНЕТЕКСТ(значение)

ЕТЕКСТ(значение)

аргумент функции Е описаны ниже.

значение Обязательный аргумент. Проверяемое значение. Значением этого аргумента может быть пустая ячейка, значение ошибки, логическое значение, текст, число, ссылка на любой из перечисленных объектов или имя такого объекта.

Функция	Возвращает значение ИСТИНА, если
	Аргумент "значение" ссылается на пустую ячейку
	Аргумент "значение" ссылается на любое значение ошибки, кроме #Н/Д
	Аргумент "значение" ссылается на любое значение ошибки (#Н/Д, #ЗНАЧ!, #ССЫЛ!, #ДЕЛ/0!, #ЧИСЛО!, #ИМЯ? или #ПУСТО!)
	Аргумент "значение" ссылается на логическое значение
	Аргумент "значение" ссылается на значение ошибки #Н/Д (значение недоступно)
ЕНЕТЕКСТ	Аргумент "значение" ссылается на любой элемент, который не является текстом. (Обратите внимание, что функция возвращает значение ИСТИНА, если аргумент ссылается на пустую ячейку.)
	Аргумент "значение" ссылается на число
	Аргумент "значение" ссылается на текст

Замечания

Аргументы в функциях Е не преобразуются. Любые числа, заключенные в кавычки, воспринимаются как текст. Например, в большинстве других функций, требующих числового аргумента, текстовое значение "19" преобразуется в число 19. Однако в формуле ЕЧИСЛО("19") это значение не преобразуется из текста в число, и функция ЕЧИСЛО возвращает значение ЛОЖЬ.

С помощью функций Е удобно проверять результаты вычислений в формулах. Комбинируя эти функции с функцией ЕСЛИ , можно находить ошибки в формулах (см. приведенные ниже примеры).

Примеры

Пример 1

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем - клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Скопируйте образец данных из приведенной ниже таблицы и вставьте его в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем - клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные
Формула	Описание	Результат
ЕПУСТО(A2)	Проверяет, является ли ячейка C2 пустой
ЕОШИБКА(A4)	Проверяет, является ли значение в ячейке A4 (#ССЫЛ!) значением ошибки
	Проверяет, является ли значение в ячейке A4 (#ССЫЛ!) значением ошибки #Н/Д
	Проверяет, является ли значение в ячейке A6 (#Н/Д) значением ошибки #Н/Д
	Проверяет, является ли значение в ячейке A6 (#Н/Д) значением ошибки
ЕЧИСЛО(A5)	Проверяет, является ли значение в ячейке A5 (330,92) числом
ЕТЕКСТ(A3)	Проверяет, является ли значение в ячейке A3 ("Регион1") текстом

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число — иррациональная и трансцендентная математическая константа, называемая числом Эйлера или числом Непера , являющаяся основанием натурального логарифма.

Негласно константа присутствует в работе «Описание удивительной таблицы логарифмов» шотландского математика Джона Непера (1550-1617) (а точнее в приложении к переводу этой работы, который был опубликован в 1618 г.). Первые упоминания про эту константу имеются в письмах саксонского философа, логика, математика, механика, физика, юриста, историка, дипломата, изобретателя и языковеда Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716) к нидерландскому механику, физику, математику, астроному и изобретателю Христиану Гюйнгенсу ван Зёйлихему (1629-1695) в 1690-91 гг. Там она обозначалась буквой . Традиционное обозначение в 1727 г. начал использовать швейцарский, немецкий, российский математик и механик Леонард Эйлер (1707-1783); впервые он употребил ее в своем письме к немецкому математику Кристиану Гольдбаху (1690-1764) в 1731 г. Первой публикацией с этой буквой была работа Л. Эйлера «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (1736). Сама же константа впервые была вычислена швейцарским математиком Якобом Бернулли (1655-1705) в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода:

Число играет большую роль в различных разделах математики, а особенно в дифференциальном и интегральном исчислении. Трансцендентность числа Эйлера была доказана французским математиком Шарлем Эрмитом (1822-1901) только в 1873 г.

Задания числа e

1) Через предел:

2,7182818284590452353602874713527… Шестнадцатеричная 2,B7E151628AED2A6A… Шестидесятеричная 2; 43 05 48 52 29 48 35 … Рациональные приближения 8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(перечислено в порядке увеличения точности)

Непрерывная дробь

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

• Через предел: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x {\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}} (второй замечательный предел). e = lim n → ∞ n n ! n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}} (это следует из формулы Муавра - Стирлинга).
• Как сумма ряда : e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}} или 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n ! {\displaystyle {\frac {1}{e}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}} .
• Как единственное число a {\displaystyle a} , для которого выполняется ∫ 1 a d x x = 1. {\displaystyle \int \limits _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=1.}
• Как единственное положительное число a {\displaystyle a} , для которого верно d d x a x = a x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}.}

Свойства

Доказательство иррациональности

Предположим, что e {\displaystyle e} рационально. Тогда e = p / q {\displaystyle e=p/q} , где p {\displaystyle p} - целое, а q {\displaystyle q} - натуральное. Следовательно p = e q {\displaystyle p=eq} Умножая обе части уравнения на (q − 1) ! {\displaystyle (q-1)!} , получаем p (q − 1) ! = e q ! = q ! ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = ∑ n = 0 ∞ q ! n ! = ∑ n = 0 q q ! n ! + {\displaystyle p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} Переносим ∑ n = 0 q q ! n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} в левую часть: ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! = p (q − 1) ! − ∑ n = 0 q q ! n ! {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части - целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1. С другой стороны, ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! = ∑ m = 1 ∞ q ! (q + m) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) . . . (q + m) < ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем: ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! < 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} Поскольку q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} , ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! < 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} Получаем противоречие.

• Число e {\displaystyle e} трансцендентно . Впервые это было доказано в 1873 году Шарлем Эрмитом . Трансцендентность числа e {\displaystyle e} следует из теоремы Линдемана .
• Предполагается, что e {\displaystyle e} - нормальное число , то есть частота появления разных цифр в его записи одинакова. В настоящее время (2017) эта гипотеза не доказана.
• Число e является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.
• e i x = cos ⁡ (x) + i ⋅ sin ⁡ (x) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)} , см. формула Эйлера , в частности
• Формула, связывающая числа e {\displaystyle e} и π {\displaystyle \pi } , т. н. интеграл Пуассона или интеграл Гаусса ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}
• Для любого комплексного числа z верны следующие равенства: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = lim n → ∞ (1 + z n) n . {\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}
• Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом (простое доказательство этого разложения, связанное с аппроксимациями Паде, приведено в ): e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , … ] {\displaystyle e=} , то есть e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 1 + 1 10 + 1 1 + … {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
• Или эквивалентным ему: e = 2 + 1 1 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 … {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots }}}}}}}}}}}
• Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать другое разложение: e + 1 e − 1 = 2 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 … {\displaystyle {\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ldots }}}}}}}}}
• e = lim n → ∞ n n ! n . {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}
• Представление Каталана : e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 24 ⋅ 26 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ {\displaystyle e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}}\cdots }
• Представление через произведение : e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k {\displaystyle e={\sqrt {3}}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}\left(2k-1\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(2k+1\right)^{2k}}}}
• Через числа Белла

E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k ! {\displaystyle e={\frac {1}{B_{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера , автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x {\displaystyle x} был равен 10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) {\displaystyle 10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)} .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году . Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода . Он обнаружил, что если исходная сумма $ 1 {\displaystyle \$1} и начисляется годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $ 2 {\displaystyle \$2} . Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $ 1 {\displaystyle \$1} умножается на 1 , 5 {\displaystyle 1{,}5} дважды, получая $ 1 , 00 ⋅ 1 , 5 2 = $ 2 , 25 {\displaystyle \$1{,}00\cdot 1{,}5^{2}=\$2{,}25} . Начисления процентов раз в квартал приводит к $ 1 , 00 ⋅ 1 , 25 4 = $ 2,441 40625 {\displaystyle \$1{,}00\cdot 1{,}25^{4}=\$2{,}44140625} , и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел : lim n → ∞ (1 + 1 n) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.} и этот предел равен числу e (≈ 2,718 28) {\displaystyle e~(\approx 2{,}71828)} .

$ 1 , 00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2,613 035... {\displaystyle \$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{12}}\right)^{12}=\$2{,}613035...}

$ 1 , 00 ⋅ (1 + 1 365) 365 = $ 2,714 568... {\displaystyle \$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{365}}\right)^{365}=\$2{,}714568...}

Таким образом, константа e {\displaystyle e} означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % {\displaystyle 100\%} годовых и максимальной частоте капитализации процентов .

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b {\displaystyle b} , встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу , -1691 годы .

Букву e {\displaystyle e} начал использовать Эйлер в 1727 году , впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику Гольдбаху от 25 ноября 1731 года , а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», 1736 год . Соответственно, e {\displaystyle e} обычно называют числом Эйлера . Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c {\displaystyle c} , буква e {\displaystyle e} применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Прежде чем познакомится с понятием натурального логарифма, рассмотрим понятие постоянного числа $е$.

Число $e$

Определение 1

Число $e$ – это математическое постоянное, которое является трансцендентным числом и равно $e \approx 2,718281828459045\ldots$.

Определение 2

Трансцендентным называется число, которое не является корнем полинома с целыми коэффициентами.

Замечание 1

Последней формулой описывается второй замечательный предел .

Число е также носит название числа Эйлера , а иногда и числа Непера .

Замечание 2

Чтобы запомнить первые знаки числа $е$ зачастую пользуются следующим выражением: «$2$, $7$, дважды Лев Толстой» . Конечно же, для того, чтобы можно было его использовать, необходимо помнить, что Лев Толстой родился в $1828$ г. Именно эти числа дважды повторяются в значении числа $е$ после целой части $2$ и десятичной $7$.

Рассмотрение понятия числа $е$ при изучении натурального логарифма мы начали именно потому, что оно стоит в основании логарифма $\log_{e}⁡a$, который принято называть натуральным и записывать в виде $\ln ⁡a$.

Натуральный логарифм

Часто при расчетах используют логарифмы, в основании которых стоит число $е$.

Определение 4

Логарифм с основанием $е$ называют натуральным .

Т.е. натуральный логарифм можно обозначить как $\log_{e}⁡a$, но в математике принято использовать обозначение $\ln ⁡a$.

Свойства натурального логарифма

Т.к. логарифм по любому основанию от единицы равен $0$, то и натуральный логарифм единицы равен $0$:

Натуральный логарифм от числа $е$ равен единице:

Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов от этих чисел:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

Натуральный логарифм частного двух чисел равен разнице натуральных логарифмов этих чисел:

$\ln⁡\frac{a}{b}=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Натуральный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на натуральный логарифм подлогарифмического числа:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Пример 1

Упростить выражение $\frac{2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}$.

Решение .

Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:

$\frac{2 \ln ⁡4e-\ln⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}=\frac{2(\ln ⁡4+\ln ⁡e)-\ln⁡ 4^2}{\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac{1}{2} \ln⁡ 5^2}=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $\ln ⁡e=1$:

$=\frac{2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4}{\ln ⁡5+1-\frac{1}{2} \cdot 2 \ln ⁡5}=\frac{2}{\ln ⁡5+1-\ln ⁡5}=2$.

Ответ : $\frac{2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}=2$.

Пример 2

Найти значение выражения $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac{1}{2e}$.

Решение .

Применим формулу суммы логарифмов:

$\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=\ln 2e^2 \cdot \frac{1}{2e}=\ln ⁡e=1$.

Ответ : $\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=1$.

Пример 3

Вычислить значение логарифмического выражения $2 \lg ⁡0,1+3 \ln⁡ e^5$.

Решение .

Применим свойство логарифма степени:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^{-1}+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+15=13$.

Ответ : $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13$.

Пример 4

Упростить логарифмическое выражение $\ln \frac{1}{8}-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac{3}{e})^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \frac{3}{e}-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac{3}{e}-6 \ln ⁡3=$

применим к первому логарифму свойство логарифма частного:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Ответ : $3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln ⁡27=-6$.